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三角形的垂心定理：在三角形ABC中，求证：它的三条高交于一点。
证明：如图：作BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，且BE交CF于点H，连接AH并延长交BC于点D。
现在我们只要证明AD⊥BC即可。
因为CF⊥AB，BE 所以 四边形BFEC为圆内接四边形。
四边形AFHE为圆内接四边形。
所以∠FAH=∠FEH=∠FEB=∠FCB
由∠FAH=∠FCB得
四边形AFDC为圆内接四边形 所以∠AFC=∠ADC=90° 即AD⊥BC。
点评：以上证明主要应用了平面几何中的四点共圆的判定与性质。
还可以通过向量证明。
已知△ABC的两条高AD,BE相交于H，连接CH，求证CH⊥AB
证明：设HA=a，HB=b，HC=c
则BC=c-b，AC=c-a，AB=b-a
∵HA⊥BC，∴a*（c-b）=0
即a*c=a*b
同理，b*c=a*b
∴a*c=b*c，即c*（b-a）=0
∴CH⊥AB
证法三：运用三角形三边垂直平分线交于一点来证明。
已知：△ABC中，AD,BE,CF是高。求证：AD,BE,CF相交于一点。
证明：过A作直线a∥BC,过B作直线b∥AC,过C作c∥AB，设a与b交点为C'，a与c交点为B’，b与c交点为A‘
∵AC’∥BC,AC∥BC'
∴四边形ACBC'是平行四边形
∴AC'=BC
同理，AB'=BC
∴AB'=AC',A是B'C'中点
∵AD⊥BC,BC∥B'C'，∴AD⊥B'C'，即AD是B‘C’的垂直平分线
同理，BE是A'C'的垂直平分线，CF是A'B'的垂直平分线
∵三角形三边的垂直平分线交于一点
∴AD,BE,CF交于一点
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