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直线与平面平行的判定定理定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。已知：a∥b，a∉α，b⊂α，求证：a∥α反证法证明：假设a与α不平行，则它们相交，设交点为A，那么A∈α∵a∥b，∴A不在b上在α内过A作c∥b，则a∩c=A又∵a∥b，b∥c，∴a∥c，与a∩c=A矛盾。∴假设不成立，a∥α向量法证明：设a的方向向量为 a，b的方向向量为 b，面α的法向量为 p。∵b⊂α∴ b⊥ p，即 p· b=0∵a∥b，由共线向量基本定理可知存在一实数k使得 a=k b那么 p· a= p·k b=k p· b=0 即 a⊥ p∴a∥α定理2平面外一条直线与此平面的垂线垂直，则这条直线与此平面平行。已知：a⊥b，b⊥α，且a不在α上。
求证：a∥α证明：设a与b的垂足为A，b与α的垂足为B。假设a与α不平行，那么它们相交，设a∩α=C，连接BC由于不在直线上的三个点确定一个平面，因此ABC首尾相连得到△ABC∵B∈α，C∈α，b⊥α∴b⊥BC，即∠ABC=90°∵a⊥b，即∠BAC=90°∴在△ABC中，有两个内角为90°，这是不可能的事情。∴假设不成立，a∥α。
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